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现在，让我们一起研究下如何处理运动的球和圆弧。圆弧式圆的一部分，不同的是圆石360度的，而圆弧不足360度。对于球和球的碰撞，之可能存在一个碰撞点。对于球和圆弧的碰撞，可能有……不是1个，也不是2个，而是4个碰撞点。

图中，左边，运动的球从原画的外面碰撞到圆弧，中间，球从圆弧的里面碰撞到圆弧，右边，球碰到了圆弧的端点（圆弧有2个端点，球可能同时碰到这2个端点）

为了定义一个圆，我们需要中心点和半径。为了定义一个圆弧，除了需要中心点和半径，还需要它的起始端点的角度和终终止端点的角度。

例如，我们可以这样定义圆弧：

arc={p0:{x:170, y:90}, r:30, ang1:135, ang2:315};

圆弧的中心点在x=170,，y=90，它的半径为30，起点角度为135度，终点角度为315度。知道了这些，我们可以计算出圆弧的起点和终点的坐标：

ang1rad=ang1*Math.PI/180;
ang2rad=ang2*Math.PI/180;
v1.p0={
x:p0.x+r*Math.cos(ang1rad),
y:p0.y+r*Math.sin(ang1rad)
};
v1.p1={
x:p0.x+r*Math.cos(ang2rad),
y:p0.y+r*Math.sin(ang2rad)
};

向量1是圆弧的起点到终点连线向量。

碰撞

可以使用球和球章节介绍的方法，检测球和圆弧外面的碰撞。当碰撞发生的时候，我们再来检测这个碰撞的位置是否在圆弧上存在。

我们需要找到球和圆弧相切的点p3。我们知道了发生碰撞时球心的位置，所以我们可以画一个向量v2，从圆弧中心到碰撞时球的中心。

v2={p0:arc.p0, p1:ball.p3};

点p3在在这个向量上，它和圆弧中心的距离为圆弧的半径(它和球的中心的距离为球的半径)：

p3={
x:arc.p0.x+v2.dx*arc.r,
y:arc.p0.y+v2.dy*arc.r
};

然后我们画一个向量，从圆弧的起点到点p3：

v3={p0:v1.p0, p1:p3};

只有当v3和v1的左法线的点乘大于0时，p3才在圆弧上。

if(dotP(v3, v1LeftNormal)>=0){
//collision
}else{
//not on the arc
}

如果碰撞发生在圆弧的外侧，我们可以忽略其他3种情况。然而，如果碰撞点p3，不在圆弧上面，我们就要考虑球是否碰到圆弧的端点，还是碰到了圆弧的内侧。

对于端点，我们可以继续使用球和球的系统，假设端点是看不见的球，半径为0，坐落在端点坐标。和球碰撞的圆弧是：

ballvsBall(ball, arc.p0, arc.r);

我们可以这样检测端点碰撞：

ballvsBall(ball, v1.p0, 0);
ballvsBall(ball, v1.p1, 0);

对于球和圆弧内部碰撞，我们使用外部碰撞系统的略加修改版。外部碰撞检测方法是：

r=arc.r+ball.r;
moveBack=Math.sqrt(r*r-vn.len*vn.len);
ball.p3={
x:ball.p2.x-moveBack*v.dx,
y:ball.p2.y-moveBack*v.dy};

内部碰撞检测方法：

r=arc.r-ball.r;
moveBack=Math.sqrt(r*r-vn.len*vn.len);
ball.p3={
x:ball.p2.x+moveBack*v.dx,
y:ball.p2.y+moveBack*v.dy};

由于球可能和圆弧的多个点碰撞，我们可以取最短路径。

下面的例子中展示了球和圆弧的碰撞，你可以体验下：

你可以下载fla源文件。

在上一节里面，我们学会了如何检测2个球的碰撞，和如何找到碰撞后的运动方向。看起来非常既好用，又简单，但是其实是有问题的：球不能运动的太快，否者碰撞检测会失效。以下是这种情形的一个说明：

图中，球1（红色）位于p0，以速度v移动。在下一个运动周期里面，它会到达p1的位置（绿色）。我们在上一个周期和本次的周期都会检测球1和球2是否发生碰撞。由于不论是在起点还是在终点，球1和球2的距离足够的大，我们检测不到球1和球2的碰撞。但是从图中可以看出，事实上球1和球2确实发生了碰撞。

上图中，球1和球2会在位置p3发生碰撞。可以这样来计算p3：

首先我们找到移动之前2个球的中心连线的向量：

vc={};
vc.p0=ball1.p0;
vc.p1=ball2.p0;

现在，我们计算出p2，它是运动向量上与球2距离最小的点。这个点很容易找到，只需要将向量vc在运动向量上进行投影，如果你已经不记得如何计算投影，可以在基础知识章节中查找。

我们绘制一个向量vn，从点p2到球2的中心点。这个向量和运动向量的法线方向相同。

vp=projectVector(vc, v.dx, v.dy);
p2={x:v.p0.x+vp.vx, y:v.p0.y+vp.vy};
vn={};
vn.p0=p2;
vn.p1=ball2.p0;

现在，我们可以比较这个向量的长度和两个球的半径之和。如果vn比半径之和大，那么不会发生碰撞。如果vn的长度和半径之和相等，那么刚好插肩而过。如果vn的长度小于半径之和，那么碰撞在到达p2这一点之前发生了。

totalRadius=ball1.r+ball2.r;
var diff=totalRadius-vn.len;
if(diff>0){
//collision
}else{
//no collision
}

当检测到球发生了碰撞，应该将球1从点p2移回点p3。但是怎么计算p3呢？如果你仔细看看上面的图片，很可能会发现，球2的中心点，p2和p3构成了一个三角形。我们对三角形非常的熟悉了，虽然还不足以让我们爱上她，但是已经足以让我们找到p3。首先，我们知道点p2到球心的长度，也就是向量vn的长度。然后，我们可以求得点p3到球2中心的长度，等于球的半径之和。现在，就可以使用古老而好用的勾股定理，来计算第三边（从p2到p3）的长度。

moveBack=Math.sqrt(totalRadius*totalRadius-vn.len*vn.len);
p3={x:p2.x-moveBack*v.dx, y:p2.y-moveBack*v.dy};
v3={p0:v.p0, p1:p3};

所以，我们将运动向量v从p2反向移动moveBack这么长的距离。有可能p3在向量v的外面，此时意味着碰撞不在本次运动循环中发生，但是但是有可能是在过去或者未来发生。我们只处理此刻的碰撞，我们要求p3必须落在向量v上面：

if(game.v3.len0){
//collision
game.ob1.p0=game.p3;
}

首先，从球1中心到p3的长度必须小于向量v的长度。同时2个向量必须放心相同，这一点可以通过计算点乘来确定。

这种检测方法的前提是，球在最开始的时候没有发生碰撞，如果遇到这种情况的话，在计算碰撞之前要小心哦。

我制作了一个例子，运动的球碰撞其他的球：

你可以拖动那些球，也可以拖动运动向量的终点。红色的圆代表球1的开始运动的时候，绿色是球1的运动完成的时候，蓝色是球2。

你可以下载fla源文件。